体積の求め方：公式とリットル換算

直方体と立方体：たて×よこ×高さ

体積は「1辺1の立方体がいくつ入るか」を数えたものです。直方体の体積はたて×よこ×高さで、3 cm×4 cm×5 cmの箱なら60 cm³です。これは底面積(3×4＝12 cm²)に高さ5 cmを掛けたものと同じで、「底面積×高さ」が多くの立体に共通する考え方の出発点になります。

立方体は3辺が等しい直方体なので、1辺aの3乗(a³)です。1辺10 cmの立方体は1,000 cm³で、これがちょうど1リットルにあたります。1辺1 mの立方体は1 m³＝1,000 Lです。

立体の長さをすべてk倍にすると、体積はk³倍になります。1辺を2倍にすると8倍、1.5倍でも3.375倍です。面積はk²倍、体積はk³倍と、次元の数だけ掛け算が増えると覚えておくと、見た目の大きさの差と中身の量の差を混同せずに済みます。

• 直方体：たて×よこ×高さ
• 立方体：1辺³
• 長さがk倍なら体積はk³倍

円柱・円錐・球の公式

円柱は底面が円の柱なので、体積は底面積×高さ＝πr²hです。直径20 cm（半径10 cm）、高さ10 cmの鍋なら、π×100×10≒3,141.6 cm³で約3.14 Lになります。飲料の缶を半径3.3 cm、高さ12.2 cmの円柱とみなすと約417 cm³で、表示容量の350 mLより大きいのは、上部の空間や缶のくびれがあるためです。

円錐は、同じ底面と高さの円柱の3分の1で、πr²h÷3です。半径2.5 cm、高さ10 cmのコーンなら約65.45 cm³です。角錐も同様に底面積×高さ÷3になります。

球の体積は(4/3)πr³です。半径10 cmの球は約4,188.79 cm³（約4.19 L）、直径22 cmのボール（半径11 cm）は約5,575 cm³です。球の体積は、ちょうど外接する円柱（半径r、高さ2r）の3分の2になります。これはアルキメデスが見いだした関係として知られています。

• 円柱：πr²h
• 円錐：πr²h÷3
• 球：(4/3)πr³
• 表面積は球なら4πr²

錐体に「1/3」が付く理由

円錐や角錐の公式に÷3が付くのは、先がとがった立体は、断面が上に行くほど小さくなるからです。断面の面積は高さに対して2乗の割合で縮むため、それを積み重ねた体積は柱の3分の1になります。積分を使うと、底面積S、高さhの錐体の体積は、高さxでの断面S×(x/h)²を0からhまで足し合わせてS×h÷3と求められます。

積分を使わない説明もあります。立方体の中心から6つの面に向けて線を引くと、底面が立方体の面、高さが1辺の半分の四角錐が6個できます。1辺をaとすると、6個の合計がa³なので1個はa³÷6です。底面積a²×高さ(a/2)はa³÷2なので、その3分の1になっていることがわかります。

実際に確かめたいなら、同じ底面と高さの円錐容器と円柱容器を用意し、円錐で水をすくって円柱に移すと、3杯でちょうどいっぱいになります。公式の÷3を忘れると答えが3倍になってしまうので、とがった立体には÷3、と意識しておくと安心です。

容積とリットルの換算

容器の中に入る量（容積）は、内側の寸法で計算した体積です。単位の換算では、1 cm³＝1 mL、1,000 cm³＝1 L、1 m³＝1,000 Lが基本になります。1 L＝1 dm³（1辺10 cmの立方体）と考えると覚えやすいでしょう。

長さの単位がcmなら体積はcm³、mならm³なので、計算の前に単位をそろえることが大切です。たとえば30 cm×40 cm×0.5 mのように混ざっていると、そのまま掛けても意味のある数字になりません。0.5 mを50 cmに直して30×40×50＝60,000 cm³＝60 Lとします。

海外の容量表示では、米ガロン（1 gal＝3.785411784 L）と英ガロン（1 gal＝4.54609 L）が異なる点に注意が必要です。日本の尺貫法では、1合＝約180.39 mL、1升＝10合＝約1.8039 L、1斗＝10升で、お米や日本酒の量に今も使われています。

• 1 cm³＝1 mL
• 1 L＝1,000 cm³＝1 dm³
• 1 m³＝1,000 L
• 1米ガロン＝3.785411784 L、1英ガロン＝4.54609 L
• 1合≒180.39 mL、1升≒1.8039 L

水槽や浴槽の水量を計算してみる

一般に60 cm水槽と呼ばれるサイズは、幅60 cm×奥行30 cm×高さ36 cm程度のものが多く、外寸で計算すると60×30×36＝64,800 cm³＝64.8 Lです。実際には水面を縁より下にするため、水深32 cmなら60×30×32＝57,600 cm³＝57.6 Lになります。さらにガラスの厚みで内寸は外寸より小さく、底砂や石を入れればその分も減るので、実際の水量はこれより少なくなります。

浴槽を内寸120 cm×70 cm、水深40 cmの直方体とみなすと、120×70×40＝336,000 cm³＝336 Lです。ただし多くの浴槽は底に向かって狭くなっていたり、角が丸かったりするため、直方体として計算した値は上限の目安と考え、実際の量はそれより少なくなるのが普通です。

同じ考え方で、円柱形の容器も計算できます。直径30 cm、水深25 cmのバケツ型の容器を円柱とみなすと、π×15²×25≒17,671 cm³で約17.7 Lです。実際のバケツは上が広く下が狭い円錐台の形をしていることが多いため、上下の直径が違う場合は、その平均の直径を使うと大まかな目安になります（厳密には円錐台の公式を使います）。

形が単純でない容器は、直方体や円柱など計算しやすい形に分けて足し合わせるか、上面と底面の寸法の平均を使うなどして概算します。給水や薬剤の量のように正確さが必要な場面では、メーカーが示す容量を確認するのが確実です。

• 60×30×36 cmの水槽：64.8 L（外寸）
• 同じ水槽で水深32 cm：57.6 L
• 120×70×40 cmの浴槽（直方体とみなす）：336 L
• 内寸で計算し、単位をそろえる