第1種ガウス・チェビシェフ求積 計算
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、第1種ガウス・チェビシェフ求積で重み付き積分 ∫[-1,1] f(x)/√(1−x²) dx を計算します。分点・重み・関数値も一覧表示。
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入力
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、第1種ガウス・チェビシェフ求積で重み付き積分 ∫[-1,1] f(x)/√(1−x²) dx を計算します。重み関数 1/√(1−x²) は分けて扱うため f(x) には含めません。
例: exp(x)、cos(x)、x^2 + 1。重み 1/√(1−x²) は含めない。使える関数・定数・演算子は計算方法を参照。
分点数（1〜256）
計算結果
積分値 ∫ f(x)/√(1−x²) dx
3.9774632605
区間 [-1, 1]・重み関数 1/√(1−x²)
次数 n
8
分点数
8
重み w_i = π/n
0.39269908
分点・重み・関数値
分点 x_i = cos((2i−1)π/2n)、重み w_i = π/n、関数値 f(x_i) を示します。
| # | 分点 x_i | 重み w_i | f(x_i) |
|---|---|---|---|
| 1 | -0.98078528 | 0.39269908 | 0.37501649 |
| 2 | -0.83146961 | 0.39269908 | 0.43540893 |
| 3 | -0.55557023 | 0.39269908 | 0.573745 |
| 4 | -0.19509032 | 0.39269908 | 0.82276034 |
| 5 | 0.19509032 | 0.39269908 | 1.21542076 |
| 6 | 0.55557023 | 0.39269908 | 1.74293458 |
| 7 | 0.83146961 | 0.39269908 | 2.29669151 |
| 8 | 0.98078528 | 0.39269908 | 2.66654941 |
計算方法・使い方
- 第1種ガウス・チェビシェフ求積は、重み関数 1/√(1−x²) を持つ区間 [-1, 1] 上の積分 ∫[-1,1] f(x)/√(1−x²) dx ≈ Σ w_i f(x_i) を近似します。重み関数の特異点（x=±1）は求積公式が自動的に吸収します。
- 分点（第1種チェビシェフ多項式 T_n の零点）は閉形式 x_i = cos((2i−1)π/(2n))（i=1,…,n）で与えられます。ニュートン法などの反復計算は不要です。
- 重みはすべて等しく w_i = π/n です。したがって積分の近似値は (π/n)·Σ f(x_i) になります。
- この求積公式は 2n−1 次までの多項式 f(x) に対して厳密です。
- 入力する f(x) は重み関数 1/√(1−x²) を除いた被積分関数です。f(x) 自体に 1/√(1−x²) を含めないでください。
- f(x) には x の四則演算・べき乗（^）、sin・cos・tan・exp・log・sqrt・abs などの関数、定数 pi・e が使えます。
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