素因数分解 計算

1260を手で分解してみる

1260を小さい素数から順に割ります。2で割って630、もう一度2で割って315。315は奇数なので3で割って105、さらに3で割って35。35は5で割って7、7は素数なので終わりです。結果は1260＝2²×3²×5×7。約数の個数は(2＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝36個、約数の総和は(1＋2＋4)×(1＋3＋9)×(1＋5)×(1＋7)＝7×13×6×8＝4,368です。

約数の総和には元の数自身も含まれます。総和がちょうど元の数の2倍になる数を完全数といい、28（1＋2＋4＋7＋14＋28＝56）や496（総和992）が該当します。ツールに28や496を入れると確かめられます。

最大公約数・最小公倍数・約分に使う

84と90をそれぞれ分解すると、84＝2²×3×7、90＝2×3²×5です。最大公約数は共通する素因数を小さいほうの指数でとって2×3＝6、最小公倍数はすべての素因数を大きいほうの指数でとって2²×3²×5×7＝1,260になります。分数84/90は分子・分母を最大公約数6で割ると14/15と、一度で約分できます。分母の違う分数を足すときは、最小公倍数が通分の分母になります。1/84＋1/90なら分母を1,260にそろえて15/1,260＋14/1,260＝29/1,260です。

平方数と平方根の簡単化

• すべての指数が偶数なら平方数です。3600＝2⁴×3²×5²なので60²です。平方数は約数の個数が奇数になり、3600の約数は5×3×3＝45個です。
• √72は72＝2³×3²と分解し、2²×3²をルートの外に出して6√2と簡単にできます。
• 数の末尾に並ぶ0の個数は、2と5の指数の小さいほうと一致します。1兆＝2¹²×5¹²なので0が12個です。

素数に見えて素数でない数

51＝3×17、57＝3×19、91＝7×13、1001＝7×11×13は、素数と間違えやすい代表例です。各位の数の和が3の倍数なら3で割り切れる、という判定法を覚えておくと51や57はすぐ見抜けます。9991は100²−3²＝97×103のように、平方の差に気づくと分解できます。なお1は素数ではありません。偶数で素数なのは2だけなので、2以外の偶数は入力した時点で素数ではないと分かります。

試し割りは√nまで調べれば十分です。このツールの上限である1兆なら、100万までの数で割れるかを確かめれば判定できます。1兆以下で最大の素数は999,999,999,989です。