ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x) 計算
次数 n と引数 x を入力すると、ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x)（n=0 はディガンマ関数）を漸化式と漸近展開で高精度に計算します。
最終更新:
入力
ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x) は対数ガンマ関数 ln Γ(x) の (n+1) 階導関数です。次数 n と引数 x を入力してください。n=0 でディガンマ関数になります。
0 以上の整数（0 はディガンマ）
0 以下の整数は極のため不可
計算結果
ψ⁽0⁾(x) の値
0.7031566406
引数 x = 2.5
ディガンマ ψ(x)
0.70315664
次数 n
0
漸化式のステップ数
8
漸化式で引数を 10.5 まで押し上げ、そこで漸近展開を評価して計算しました。
計算方法・使い方
- ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x) は対数ガンマ関数 ln Γ(x) を (n+1) 回微分したものです。n=0 のとき ψ(x)=Γ′(x)/Γ(x) でディガンマ関数と呼ばれます。
- 計算は引数 x を漸化式で 10 以上まで押し上げ、そこで漸近展開（ベルヌーイ数を用いるスターリング系列）を評価して元に戻します。
- 負の引数は漸化式で正側へ移して扱います。x が 0 以下の整数のとき関数は極を持つため計算できません。
- 次数 n は 0 以上の整数のみ受け付けます。ψ⁽¹⁾ はトリガンマ関数、ψ⁽²⁾ はテトラガンマ関数とも呼ばれます。
- 代表値の検算: ψ(1)=−γ（オイラー定数）、ψ⁽¹⁾(1)=π²/6、ψ⁽²⁾(1)=−2ζ(3)。
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