球ベッセル関数のゼロ点計算
球ベッセル関数 jₙ(x) または yₙ(x) の正のゼロ点を小さい順に求めます。種別・次数・個数を指定すると、ニュートン法で精密化した零点を一覧表とグラフで表示します。
最終更新:
入力
球ベッセル関数の種別・次数 n・求める個数を指定すると、正のゼロ点を小さい順に計算します。
関数の種別
第1種 jₙ(x)
0 以上 50 以下の整数
1 以上 30 以下の整数
計算結果
第1種 jₙ(x) 次数 0 の最初のゼロ点
3.1415926536
関数とゼロ点の位置
| 番号 | ゼロ点 x |
|---|---|
| 1 | 3.1415926536 |
| 2 | 6.2831853072 |
| 3 | 9.4247779608 |
| 4 | 12.5663706144 |
| 5 | 15.7079632679 |
計算方法・使い方
- 球ベッセル関数は閉形式の漸化式で評価します。第1種は j0(x)=sin(x)/x、j1(x)=sin(x)/x^2 - cos(x)/x、第2種は y0(x)=-cos(x)/x、y1(x)=-cos(x)/x^2 - sin(x)/x を起点に、f(k+1)=((2k+1)/x)f(k) - f(k-1) で次数を上げます。
- ゼロ点は微小刻みで符号変化を走査して粗い位置を挟み込み、二分法とニュートン法で精密化します。次数より小さい x の領域では j_n をべき級数で評価して数値的な不安定を避けています。
- 次数 n は 0 以上 50 以下の整数、個数は 1 以上 30 以下で指定します。値は概ね小数 10 桁程度の精度です。
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